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Archive de la catégorie ‘Mathématiques’

Lundi 19 décembre 2016 | Mise en ligne à 11h45 | Commenter Commentaires (31)

Sondages : urgent d’attendre

Au coude-à-coude ? (Photo : Jacques Boissinot/archives La Presse)

Au coude-à-coude ? (Photo : Jacques Boissinot/archives La Presse)

Alors résumons tout ça… À quelques jours d’intervalle, CROP donne 13 points d’avance aux libéraux sur les péquistes (38 vs 25 % des intentions de vote, la CAQ suivant à 23 %) alors que Léger voit plutôt une course à trois avec le PLQ et le PQ à égalité (30 % chacun) et la CAQ non loin derrière. Il s’agit du deuxième mois d’affilée où les deux principales maisons de sondage du Québec sont en désaccord, toujours de la même manière — le PLQ est plus fort dans les échantillons de CROP et le PQ dans ceux de Léger. Et les chiffres de CROP semblent contraster pas mal avec les résultats des partielles du 5 décembre, qui ont été assez difficiles pour les libéraux.

Alors qu’est-ce qu’on fait avec ça ? Essentiellement, il existe trois options.

1. Le réflexe de Pavlov : on crie au complot. Les médias sociaux sont remplis de beaux exemples de ces knee-jerk reactions, qui ne se concentrent que sur la réputation de CROP (plus proche des libéraux) et de Léger (plus proche du PQ) et qui fait totalement abstraction du fait que CROP trouve des appuis au PQ supérieurs à ce que mesure Léger et que Léger rapporte parfois des appuis au PLQ plus élevés que ceux de CROP. Passons.

2. On décrète que CROP s’est trompé. Ce n’est certainement pas impossible, remarquez. Les statistiques sont l’art de mesurer le hasard, pas de l’annuler. Si bien qu’il est toujours possible qu’un sondage donne des résultats aberrants, simplement parce que le hasard a produit un échantillon très différent de la population qu’on tente d’étudier. C’est rare, mais ça arrive. On ne peut pas non plus écarter complètement la possibilité (assez théorique pour l’instant, j’y reviens) que les méthodes de CROP soient biaisées.

Mais pour l’heure, si je me fie aux textes de ces deux observateurs (que j’estime beaucoup par ailleurs), la seule manière de défendre cette thèse est d’accorder pas mal de poids aux partielles du début du mois, de présumer que ceux qui ont voté le 5 décembre sont raisonnablement représentatifs de l’humeur et des tendances de l’ensemble du Québec. Encore une fois, ce n’est pas impossible, mais cela reste risqué, pour ne pas dire prématuré : ces élections ont eu lieu dans seulement 4 circonscriptions sur 125 et, comme dans toutes les partielles, les taux de participation anémiques (26, 30, 34 et 44 %) peuvent tordre le portrait pour la peine. Ce n’est vraiment pas un point de comparaison fiable.

3. On attend. C’est l’option préconisée par Claire Durand, sociologue et spécialiste des sondage de l’UdeM, dans un billet qu’elle a publié sur son blogue hier. Mme Durand a analysé tous les sondages des deux firmes depuis la mi-2014 et n’a pas trouvé de différence statistiquement significative entre CROP et Léger pour le PLQ, le PQ et la CAQ. L’écart entre les deux firmes ne remonte qu’à deux mois pour les libéraux et quelque chose comme six mois pour les péquistes (et encore, il faut faire ici abstraction de leurs chiffres très semblables du mois d’octobre).

Il y a toujours des variations qui viennent avec les sondages, dit Mme Durand. Alors dans le cas qui nous intéresse ici, dit-elle, il n’y a pas grand-chose d’autre à faire qu’attendre de voir si ces divergences se répètent systématiquement dans les prochains sondages — et l’un ou l’autre des sondeurs, sinon les deux, aura alors de sérieux devoirs à faire. Mais il suffirait d’un ou deux coups de sonde concordant pour que le «phénomène» disparaisse entièrement.

C’est l’option la plus sage, il me semble.

Par ailleurs, et je m’en voudrais de passer cet aspect sous silence, Mme Durand estime que la méthode des panels web — que tant CROP que Léger s’en sert, pour des raisons économiques — n’est probablement pas encore tout à fait au point. Voici une citation qui devrait en intéresser plusieurs : «Je me suis aperçue pendant les élections américaines que, alors que les autres sondages montraient une hausse des intentions de vote pour Hillary Clinton et ensuite une baisse, les sondages Web montraient une ligne flat. Il semble qu’il n’y a pas autant de variation dans ces échantillons-là. [...] Là, Léger dit qu’il y a 200 000 personnes dans son panel du Québec. Personnellement, quand ils ont commencé, je pensais qu’ils allaient continuer d’augmenter ce bassin-là, mais ils ne le font pas parce qu’il faut entretenir l’échantillon, s’assurer que les gens continuent de répondre au sondage, et des choses comme ça. Mais si mon taux de réponse est à 10 %, ça veut dire que je reviens peut-être un peu trop souvent sur les mêmes personnes. [...] Dans un sondage téléphonique, même si j’ai un taux de réponse de 10 %, ce ne sont pas toujours les mêmes personnes que j’interviewe.»

Cela ne reste qu’une hypothèse, souligne Mme Durand, mais il y a effectivement là-dedans un travers potentiel qu’il faut étudier.

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(Image : Fred Chartrand, PC)

(Image : Fred Chartrand, PC)

Avoir été mathématicien, les poils m’auraient dressé sur les bras tellement raide la semaine dernière, quand la ministre fédéral Maryam Monsef a présenté une formule mathématique pour tenter de tabletter un rapport sur la réforme électorale, que j’en aurais sans doute la chair de poule encore ce matin. Car ce fut là, vraiment, une utilisation parfaitement cynique de l’aversion très répandue qu’ont M. et Mme Tout-le-Monde à l’égard des mathématiques — aversion qu’il faudrait combattre au lieu d’exploiter. Cynique, en plus d’être fausse…

Critiquant un rapport sur la réforme électorale pourtant rédigé par un comité où tous les partis siégeaient, Mme Monsef a accusé le comité de n’avoir pas fait son travail et de n’avoir accouché que d’une formule mathématique. «Est-ce que les Canadiens aimeraient faire la racine carrée de la somme des carrés des différences de pourcentage entre le nombre de sièges obtenus par chaque parti et leur pourcentage du vote populaire ?», a demandé Mme Monsef en brandissant une copie papier de l’équation.

Évidemment, quand on l’explique comme ça et qu’on ne décrit pas les termes de l’équation, le «pauvre» Canadien moyen peut avoir l’impression que c’est horriblement compliqué. Et c’était manifestement l’objectif visé. Mais la réalité est toute autre : l’«indice de Gallagher», soit le nom que porte cette formule, n’a vraiment rien de compliqué — pour peu, bien sûr, qu’on arrête de prendre le pauvre Canadien moyen pour un con et qu’on lui fournisse les informations qu’il faut pour comprendre.

Alors allons-y, en gardant deux choses en tête. Primo, chaque formule mathématique n’est rien d’autre qu’une manière d’exprimer une idée de base. On peut le faire avec une équation, mais on peut aussi le faire avec des mots. Et deuxio, dans le cas de l’indice de Gallagher, cette idée de base est de mesurer l’écart entre la proportion des votes obtenue par chaque parti et la proportion des sièges au parlement afin de mesurer à quel point un système électoral reflète bien (ou mal) la volonté populaire.

Voici la «bête»…

Capture d’écran 2016-12-05 à 11.12.50Dans cette équation, «LSq» est simplement un raccourci pour least square, le «moindre carré», qui est le nom de la «famille mathématique» à laquelle l’indice de Gallagher appartient.

Maintenant, la pièce centrale ici, et celle qui fait sans doute le plus peur parce qu’il n’y a pas grand-monde qui sait (ou se souvient) de quoi il s’agit, est le sigma majuscule — l’espèce de «E» majuscule, juste à côté du «1/2». Ce grand épouvantail, messieurs-dames, signifie simplement qu’il va falloir faire la somme d’une liste d’éléments. Ouaip, on parle essentiellement d’une série d’additions : ceci + cela + ceci + cela. C’est compliqué, hein ?

Le «i = 1» en-dessous signifie qu’on part du premier (d’où le «1») item (d’où le «i») de la liste, et le «n» par-dessus veut dire qu’on se rend jusqu’à l’item n d’une liste où il y a n items — donc on se rend jusqu’au dernier. Pour l’indice de Gallagher, cette liste est celle des partis qui ont présenté des candidats dans une élection donnée. Je présume que vous n’avez pas trop mal à la tête rendu ici…

Et qu’est-ce qu’il faut additionner ? Ce qui est à la droite de ∑, donc ce qui est entre parenthèses dans le cas qui nous intéresse. Donc on va faire une soustraction (oh là là ! une soustraction les amis !), puis on va élever le résultat au carré (en bas d’un PhD en maths, personne n’est capable de faire ça, c’est sûr…), on va répéter l’opération pour chacun des partis politiques de notre liste, puis on va faire la somme de tous ces carrés-là.

Le «Vi», c’est la proportion (en %) des votes obtenus par un parti au cours d’une élection donnée, le «Si», c’est la proportion (toujours en %) des sièges obtenus par le même parti. Le Parti libéral du Canada, par exemple, a obtenu 39,47 % des voix en aux élections de 2015 et décroché 54,44 % des sièges aux Communes. Donc pour le PLC, on fait : VPLC – SPLC = 39,47 – 54,44 = -14,97. Ça va, mon p’tit Canadien moyen ? Tu saignes pas encore du nez ?

On élève ça au carré, donc -14,97 X -14,97 = 224,1009, ce qui a l’avantage d’assurer que tous les items à additionner seront positifs (très pratique quand on veut faire la somme de tous les écarts, peu importe qu’ils aillent dans le sens d’une sur- ou d’une sous-représentation, entre les votes et les sièges). Puis on recommence pour chaque parti, avant d’additionner tous les carrés. On divise cette somme par deux (ça assure que le résultat final sera toujours entre 0 et 100), puis on fait la racine carrée du résultat, comme ceci :

Capture d’écran 2016-12-05 à 11.59.38C’est tout…

Plus l’indice est élevé, plus forte est la disproportion entre le vote populaire et le résultat au parlement. Maintenant, on pourrait croire qu’un résultat de 12,02 sur une échelle de 0 à 100 est un très bon score, mais il n’en est rien. D’abord parce que la possibilité d’atteindre 100 est très, très, très théorique : si on imagine, par exemple, une élection avec 30 partis politiques où le gagnant obtiendrait 3,3334 % des votes dans toutes les circonscriptions contre 3,3333 % pour chacun des autres (donc 3,3334 % des votes donne 100 % des sièges), on arrive à un indice de Gallagher de 69,5. Pure théorie, donc.

Et ensuite parce qu’en pratique, un score de 12 est très élevé. Pas le plus élevé de l’histoire canadienne (qui est à 20-21) ni le plus élevé du monde (la France, par exemple, «score» habituellement entre 10 et 25), mais beaucoup de pays font pas mal mieux que ça, comme l’Allemagne (entre 0,5 et 7,8 depuis 1919), Israël (0,7 à 3,1 depuis 1949), la Belgique (1,9 à 5,2 depuis 1946), etc. Voir cette liste très intéressante.

Mais pour en revenir à Mme Monsef, l’indice de Gallagher n’est qu’un assemblage, pas particulièrement long d’ailleurs, d’opérations très simples. Il est vraiment désolant qu’un parti qui s’est fait élire en partie sur la promesse de cesser la «guerre à la science» de son prédécesseur se soit servi aussi cyniquement de l’aversion populaire envers les mathématiques à des fins partisanes.

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Lundi 14 novembre 2016 | Mise en ligne à 15h43 | Commenter Commentaires (37)

Trouvez un mathématicien et serrez-le dans vos bras

(Photo : archives La Presse)

(Photo : archives La Presse)

À cause des équations qui traversent leur discipline d’un bout à l’autre et des orgies de mathématiques auxquelles ils s’adonnent à longueur de semaine, j’avais toujours pensé que les physiciens étaient, dans leur for intérieur, des «mathématiciens de placard» qui avaient simplement un peu de misère à s’accepter comme ils sont. Tels des fans de Nickelback qui posent des autocollants de Metallica sur leur voiture, je les soupçonnais de mener une sorte de double vie où leur métier «officiel» n’était qu’un prétexte socialement acceptable pour cacher leur nature véritable. Et que derrière les portes closes, à l’abri des préjugés impitoyables de la société, ils se permettaient d’être enfin eux-mêmes et faisaient des problèmes de maths pures, juste pour le fun.

Certes, toute comparaison étant boîteuse, les fans de Nickelback qui font leur coming out s’exposent à une réprobation infiniment plus dure parce que… eh bien parce que les placards (insonorisés, idéalement) sont vraiment le seul endroit sur Terre où cette «musique» devrait jouer. Ce n’est pas le cas des maths, on s’entend, mais je ne m’en disais pas moins que cette difficulté qu’ont les physiciens à s’assumer leur venait peut-être d’un manque d’amour pendant l’enfance et qu’il suffirait d’une bonne thérapie, ou ne serait-ce même que d’un petit hug au bon moment, pour libérer leur matheux intérieur, refoulé depuis si longtemps.

N’avons-nous pas tous nos petits secrets, nos petits travers, avais-je envie de dire à un physicien en le prenant dans mes bras ? Est-ce que ta famille sait à quel point tu es matheux ? Allez, dis-leur, ils t’aiment, ils veulent que tu sois heureux ! Et si tes proches hésitent, rappelle-leur que ça pourrait être bien pire et que tu pourrais écouter du Nickelback… Parce que c’est vrai que t’es pas un fan, hein ? Hein ?

Or j’avais tort, messieurs-dames, j’avais bigrement tort. Un article paru la semaine dernière dans le New Journal of Physics a en effet démontré que les physiciens *ne sont pas* des mathématiciens de placard et qu’ils semblent même trouver les équations plutôt rébarbatives — comme tout le monde, quoi, bien qu’un peu moins que la moyenne des ours.

Menée par deux chercheurs de l’Université d’Exeter, en Angleterre, l’étude a consisté à analyser plus de 1900 articles savants parus dans les Physical Review Letters pour savoir combien chacun contenait d’équations par page (entre 0 et 8,75 en moyenne) et combien de fois il avait été cité par la suite. Résultat : pour chaque équation supplémentaire par page, un article dans les PRL est cité 6 % de moins que les autres, ce qui suggère que les physiciens ne lisent pas, ou moins, les textes qui contiennent beaucoup de formules.

Les deux auteurs, Tim Fawcett et Andrew Higginson, avaient déjà trouvé le même genre de tendance chez les biologistes, ce qui se comprend plus intuitivement puisque un intérêt pour ce qui bouge ne vient pas forcément avec la boss des maths. Mais la physique ? Ce repère de mathématiciens patentés, à peine déguisés sous un nom de métier différent ? Fawcett et Higginson s’en étonnent beaucoup et même s’en inquiètent (à juste titre) puisque les maths, c’est bien connu, sont la langue des sciences. «Ça montre qu’il pourrait y avoir un lien brisé entre la théorie mathématique et le travail expérimental. Cela représente potentiellement une énorme barrière pour tout progrès scientifique», disent-ils. Et cela vaut pour toutes les disciplines, pas seulement pour la physique.

Maintenant, la prochaine question à se poser est : comment les mathématiciens vont-ils le prendre ? C’est un coup dur, qu’on ne s’y trompe pas. De la part d’une «discipline-sœur», si proche que bien des universités offrent des programmes conjoints de maths-physique, la nouvelle risque fort d’avoir l’effet d’un coup de poignard en plein cœur. Comprenez, c’est toujours comme ça quand un être cher vous rejette. Alors ne prenez pas de chance : si vous voyez un mathématicien dans la rue au cours des prochains jours, serrez-le dans vos bras et dites-lui que vous, contrairement à ces traîtres de physiciens, vous l’aimez pour vrai.

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