Sciences dessus dessous

Archive de la catégorie ‘Mathématiques’

Les statistiques sont probablement l’outil mathématique le plus utilisé en sciences, mais on s’en sert d’une manière un peu (beaucoup) trop libérale, suggère un papier paru hier dans les Proceedings of the National Academy of Sciences — ce qui donnerait bien des résultats faussement positifs et ferait donc perdre pas mal de temps et d’argent à pas mal de monde…

Quand un savant veut tester une hypothèse à l’aide des stats, il peut s’y prendre grosso modo de deux grandes manières. La première façon, la «classique», est en quelque sorte un proche parent de la «marge d’erreur» des sondages, soit le célèbre «plus ou moins 3 % 19 fois sur 20» (pour un échantillon aléatoire d’environ 1000 personnes). Les stats étant l’art de mesurer la hasard mais pas de l’annuler, cette marge d’erreur signifie que la vraie proportion (de gens qui ont l’intention de voter pour X ou Y, par exemple) doit se situer à l’intérieur de 3 points de pourcentage de ce que dit l’échantillon, ce qui laisse 1 chance sur 20 de sortir de la marge. Et les chercheurs se servent de tests statistiques dérivés de ce principe pour déterminer si deux groupes sont différents ou non — par exemple, si les patients qui ont reçu tel médicament survivent plus longtemps que ceux qui ont reçu un placebo. Le résultat de ces tests est généralement nommé valeur p et doit par convention être inférieur à 0,05 (soit 1 sur 20) pour que l’on considère une différence comme «statistiquement significative», ce qui veut dire que l’écart observé dans l’échantillon a au maximum 1 chance sur 20 d’être du au hasard et non à une différence réelle.

L’autre grande avenue, dite bayesienne (du nom de son inventeur, le mathématicien anglais du XVIIIe siècle Thomas Bayes) est moins connue mais semble de plus en plus utilisée, si je me fie au petit peu que j’en sais. Contrairement à l’approche classique, elle ne mesure pas les chances pour qu’un résultat soit dû au hasard, mais évalue les chances qu’a une hypothèse d’être vraie au regard des données examinées, explique ce compte-rendu de Nature ; ses résultats s’expriment en ratio, comme 2 pour 1 ou 4 pour 1 (notés 2:1 et 4:1), ce qui indique respectivement 2 chances sur 3 et 4 chances sur 5 d’être valide.

À cause de leurs points de départ différents, ces deux grandes approches n’avaient jamais pu être comparées directement, mais c’est ce que le statisticien de Texas A&M Valen Johnson estime être parvenu à faire dans les PNAS. Avec une conclusion un brin effrayante : en statistique bayesienne, une valeur p de 0,05 tombe entre 3:1 et 5:1. C’est donc que beaucoup de disciplines (psycho, sciences sociales, médecine, etc.) considèrent comme «statistiquement significatifs» des résultats qui, jaugés à l’échelle de Bayes, auraient entre 17 et 25 % d’être faux.

Si le raisonnement de M. Johnson et ses calculs sont exacts, cela veut dire que la «marge d’erreur» que les chercheurs utilisent généralement est rien de moins que gi-gan-tes-que. Et de là, déduit Nature, il n’est pas étonnant que l’on ait trop souvent de la misère à reproduire des résultats de recherche.

Je ne me mêlerai pas de la querelle d’école opposant les stats classiques et les bayesiennes, mais cela mérite certainement réflexion. Sans nécessairement copier les seuils de signifiance statistique triplement bétonnés de la physique (où p doit être inférieur à 0,000 001), il y aurait sans doute lieu d’abaisser le seuil de 0,05 couramment employé — et qui ne l’est que par convention, rappelons-le. M. Johnson suggère 0,005… Qu’en dites-vous ?

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Jeudi 13 septembre 2012 | Mise en ligne à 11h18 | Commenter Commentaires (9)

Art (délicieusement) «geek»

Au rayon des œuvres d’art pour les geeks — statut que votre humble serviteur revendique allègrement —, l’artiste américain connu sous le nom de Ishky vient assurément d’entrer dans la légende. Hier, cinq avions ont écrit, grâce à des traînées de condensation, les 1000 premières décimales du nombre pi dans le ciel de San Francisco.

Synchronisés un peu comme une imprimante à points, les appareils ont écrit tous ces chiffres sur une distance de 240 km, rapporte Wired. Chacun des chiffres mesuraient plus de 400 mètres de haut.

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Mardi 11 septembre 2012 | Mise en ligne à 14h22 | Commenter Commentaires (5)

La «géométrie interuniverselle», et autres propos poétiques

Il n’est pas rare qu’un quidam affirme avoir trouvé la solution à un vieux problème mathématique sur lequel nombre de grands esprits se sont cassés les dents. Et il n’est pas rare que lesdits quidams fassent reposer leur démonstration sur de «nouvelles mathématiques» plus ou moins ésotériques qui s’avèrent, après mûr (ou parfois sommaire) examen, peu solides. C’est pourquoi il aussi très rare que les mathématiciens patentés accordent beaucoup d’importance à ce genre d’exercice. Mais cette fois-ci, c’est différent…

Le quidam en question s’appelle Shinichi Mochizuki, il est professeur de mathématiques à l’Université de Tokyo, sa réputation est remarquable et sa feuille de route, sans tache. Et d’après ce que rapportent Nature et le New Scientist, c’était un minimum pour convaincre certains des plus grands mathématiciens de la planète de consacrer plusieurs mois à décortiquer la démonstration mathématique, potentiellement révolutionnaire mais longue de 500 pages, que M. Mochizuki a déposé récemment sur son site.

Dans cette série de quatre articles, qui font un certain bruit dans l’univers des maths, le mathématicien japonais prétend avoir prouvé la «conjecture ABC» grâce à de nouveaux outils mathématiques qu’il nomme «géométrie interuniverselle» — locution qui me fait d’ailleurs regretter de ne pas avoir entendu parlé de lui à temps pour l’inclure dans mon concours de l’expression mathématique la plus poétique, mais bon, on ne refait pas le passé.

La conjecture ABC prend ses racines dans le fait, très fondamental, que tout nombre peut s’exprimer comme le produit de nombres premiers — les nombres premiers étant, on s’en souvient, ces nombres qui ne se divisent que par 1 et par eux-mêmes. Par exemple : 14 = 2 x 7, ou bien 33 = 3 x 11, ou encore 105 = 3 x 5 x 7. Cependant, dans beaucoup de cas, ces produits impliquent le carré d’un nombre premier — par exemple : 12 = (2 x 2) x 3, ou bien 50 = 2 x (5 x 5). Si l’on élimine ces carrés en ne retenant que les nombres premiers qui sont distincts entre eux, on obtient ce que les anglophones appellent le square free part d’un nombre n — noté sqp(n) —, soit le plus grand nombre pouvant être obtenu en multipliant les facteurs premiers distincts de n. Ainsi, pour reprendre les exemples de 12 et de 50, on aurait :

- 12 = 2 x 2 x 3 —> sqp(12) = 2 x 2 x 3 = 6

- 50 = 2 x 5 x 5 —> sqp(50) = 2 x 5 x 5 = 10

La conjecture ABC veut que pour tout nombres entiers a, b et c tels que a + b = c, le ratio sqp(abc)r/c est toujours plus grand que zéro et rarement plus petit que 1 lorsque r est supérieur à 1. Par exemple, si l’on suppose que a = 4, b = 32, alors c doit égaler 4 + 32 = 36 ; et pour r = 2, alors on a sqp(4, 32, 36)2/36 = (2 x 2 x 6)2/36 = 16. On voit assez facilement qu’à ce petit jeu on obtiendra, la très grande majorité du temps, des résultats supérieurs à 1, mais la conjecture ABC s’intéresse surtout aux exceptions.

Comme pour beaucoup d’autres problèmes du genre, celui-ci est relativement facile à poser, mais sa démonstration est extraordinairement difficile. Pour la conjecture ABC, il apparaît «à l’œil» plutôt évident que le ratio sqp(abc)r/c ne peut jamais égaler zéro, mais la preuve mathématique — soit un raisonnement qui éliminerait logiquement et formellement toute possibilité d’exception — nous échappe depuis la naissance de cette conjecture, il y a un quart de siècle.

Si M. Mochizuki a raison, le résultats sera non seulement très intéressant en lui-même, mais aussi pour les techniques qui sont déployées. Selon le mathématicien de Columbia Peter Woigt, une tentative de preuve a déjà été proposée il y a quelques années, mais il fut démontré qu’elle était fausse et elle s’appuyait sur des outils bien connus. Cette fois-ci, écrit-il sur son blogue, c’est une autre paire de manche : «Essentiellement, M. Mochizuki a créé monde de nouveaux objets mathématiques et affirme qu’il les comprend assez bien pour s’en servir dans sa démonstration», écrit M. Woigt.

Ce qui implique que les autres mathématiciens qui voudront vérifier sa preuve devront non seulement passer à travers ses 500 pages, mais au préalable se familiariser avec l’univers de M. Mochizuki. Et cela risque d’être fort long, mais compte tenu du passé du mathématicien japonais, plusieurs de ses collègues croient apparemment que le jeu en vaut la chandelle. Avec, à la clef, un possible tremblement de terre mathématique…

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