Au rayon des œuvres d’art pour les geeks — statut que votre humble serviteur revendique allègrement —, l’artiste américain connu sous le nom de Ishky vient assurément d’entrer dans la légende. Hier, cinq avions ont écrit, grâce à des traînées de condensation, les 1000 premières décimales du nombre pi dans le ciel de San Francisco.

Synchronisés un peu comme une imprimante à points, les appareils ont écrit tous ces chiffres sur une distance de 240 km, rapporte Wired. Chacun des chiffres mesuraient plus de 400 mètres de haut.

Il n’est pas rare qu’un quidam affirme avoir trouvé la solution à un vieux problème mathématique sur lequel nombre de grands esprits se sont cassés les dents. Et il n’est pas rare que lesdits quidams fassent reposer leur démonstration sur de «nouvelles mathématiques» plus ou moins ésotériques qui s’avèrent, après mûr (ou parfois sommaire) examen, peu solides. C’est pourquoi il aussi très rare que les mathématiciens patentés accordent beaucoup d’importance à ce genre d’exercice. Mais cette fois-ci, c’est différent…

Le quidam en question s’appelle Shinichi Mochizuki, il est professeur de mathématiques à l’Université de Tokyo, sa réputation est remarquable et sa feuille de route, sans tache. Et d’après ce que rapportent Nature et le New Scientist, c’était un minimum pour convaincre certains des plus grands mathématiciens de la planète de consacrer plusieurs mois à décortiquer la démonstration mathématique, potentiellement révolutionnaire mais longue de 500 pages, que M. Mochizuki a déposé récemment sur son site.

Dans cette série de quatre articles, qui font un certain bruit dans l’univers des maths, le mathématicien japonais prétend avoir prouvé la «conjecture ABC» grâce à de nouveaux outils mathématiques qu’il nomme «géométrie interuniverselle» — locution qui me fait d’ailleurs regretter de ne pas avoir entendu parlé de lui à temps pour l’inclure dans mon concours de l’expression mathématique la plus poétique, mais bon, on ne refait pas le passé.

La conjecture ABC prend ses racines dans le fait, très fondamental, que tout nombre peut s’exprimer comme le produit de nombres premiers — les nombres premiers étant, on s’en souvient, ces nombres qui ne se divisent que par 1 et par eux-mêmes. Par exemple : 14 = 2 x 7, ou bien 33 = 3 x 11, ou encore 105 = 3 x 5 x 7. Cependant, dans beaucoup de cas, ces produits impliquent le carré d’un nombre premier — par exemple : 12 = (2 x 2) x 3, ou bien 50 = 2 x (5 x 5). Si l’on élimine ces carrés en ne retenant que les nombres premiers qui sont distincts entre eux, on obtient ce que les anglophones appellent le square free part d’un nombre n — noté sqp(n) —, soit le plus grand nombre pouvant être obtenu en multipliant les facteurs premiers distincts de n. Ainsi, pour reprendre les exemples de 12 et de 50, on aurait :

- 12 = 2 x 2 x 3 —> sqp(12) = 2 x 2 x 3 = 6

- 50 = 2 x 5 x 5 —> sqp(50) = 2 x 5 x 5 = 10

La conjecture ABC veut que pour tout nombres entiers a, b et c tels que a + b = c, le ratio sqp(abc)^r/c est toujours plus grand que zéro et rarement plus petit que 1 lorsque r est supérieur à 1. Par exemple, si l’on suppose que a = 4, b = 32, alors c doit égaler 4 + 32 = 36 ; et pour r = 2, alors on a sqp(4, 32, 36)²/36 = (2 x 2 x 6)²/36 = 16. On voit assez facilement qu’à ce petit jeu on obtiendra, la très grande majorité du temps, des résultats supérieurs à 1, mais la conjecture ABC s’intéresse surtout aux exceptions.

Comme pour beaucoup d’autres problèmes du genre, celui-ci est relativement facile à poser, mais sa démonstration est extraordinairement difficile. Pour la conjecture ABC, il apparaît «à l’œil» plutôt évident que le ratio sqp(abc)^r/c ne peut jamais égaler zéro, mais la preuve mathématique — soit un raisonnement qui éliminerait logiquement et formellement toute possibilité d’exception — nous échappe depuis la naissance de cette conjecture, il y a un quart de siècle.

Si M. Mochizuki a raison, le résultats sera non seulement très intéressant en lui-même, mais aussi pour les techniques qui sont déployées. Selon le mathématicien de Columbia Peter Woigt, une tentative de preuve a déjà été proposée il y a quelques années, mais il fut démontré qu’elle était fausse et elle s’appuyait sur des outils bien connus. Cette fois-ci, écrit-il sur son blogue, c’est une autre paire de manche : «Essentiellement, M. Mochizuki a créé monde de nouveaux objets mathématiques et affirme qu’il les comprend assez bien pour s’en servir dans sa démonstration», écrit M. Woigt.

Ce qui implique que les autres mathématiciens qui voudront vérifier sa preuve devront non seulement passer à travers ses 500 pages, mais au préalable se familiariser avec l’univers de M. Mochizuki. Et cela risque d’être fort long, mais compte tenu du passé du mathématicien japonais, plusieurs de ses collègues croient apparemment que le jeu en vaut la chandelle. Avec, à la clef, un possible tremblement de terre mathématique…

La sociologue de l’UdeM et spécialiste de la méthodologie statistique Claire Durand a mis en ligne un texte extrêmement intéressant (et on ne peut plus pertinent en cette fin de campagne) sur son blogue Ah! les sondages. Mme Durand a examiné huit sondages réalisés au Québec au cours des dernières semaines afin de voir si l’on n’y trouvait pas des signes d’un phénomène que les sondeurs français appellent «paradoxe de la mémé communiste».

Essentiellement, l’idée est que plus un groupe a tendance à refuser de répondre aux sondages, plus les gens de ce groupe qui y collaborent quand même auront tendance à avoir des profils atypiques. Par exemple, si le taux de réponse des personnes âgées en France est bas, on risque de trouver une proportion anormalement grande de «mémé communiste» chez les rares «vieux» qui répondent malgré tout.

Et les travaux de Mme Durand suggèrent — ils ne portent que sur 8 sondages ce qui, avertit-elle, n’est pas suffisant pour baser des conclusions solides — que le même genre de phénomène semble se produire avec les non-francophones au Québec. En effet, calcule-t-elle, les non-francophones représentent environ 20 % de la population, mais ne forment souvent que 10-12 % des échantillons de nos maisons de sondage. Or, montrent les données de la sociologue, plus leur proportion est élevée dans les échantillons, plus ils sont nombreux à dire qu’ils vont voter libéral. Ainsi, dans le sondage Léger du 9 août, les non-francophones formaient plus du quart de l’échantillon, et leurs intentions de vote étaient libérale à 81 %, soit les plus forts pourcentages dans les deux cas. À l’autre extrême, depuis le début de la campagne, les plus «faibles» appuis libéraux chez les non-francophones, autour de 58 %, sont mesurés par CROP, qui a aussi les plus petits sous-échantillons non-francophones (autour de 11-12 % de l’échantillon total) — et pour avoir sous les yeux le troisième sondage CROP qui paraîtra demain, je peux vous dire que le portrait ne change pas.

Les maisons de sondage, bien sûr, pondèrent leurs sous-échantillons non-francophones afin de leur donner autant de poids qu’ils ont en réalité, mais cette pondération ne corrige absolument pas le biais possible que Mme Durand vient de mettre en lumière. Au contraire, elle ne fait que le magnifier.

Encore une fois, répétons qu’il s’agit ici de données ne portant que sur 8 sondages, mais il reste que les tests statistiques effectués par la méthodologiste de l’UdeM montrent que ces résultats sont «statistiquement significatifs» (le célèbre p-value est inférieur à 0,05). Il vaudra donc certainement la peine d’aller y voir de plus près, idéalement dans un avenir rapproché.